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Analisis de funciones

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Analisis de funciones

Definición

Una función real de variable real es toda correspondencia $\mathrm{f}$ que asocia a cada elemento $x$ de un subconjunto no vacio $D$ de $R$ un único número real. La expresamos como:

$\mathrm{f}: D \subset R \longrightarrow R$

$x \longrightarrow y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

$x$ es la variable independiente e $y$ la variable dependiente.

Al conjunto, $D$ , de valores que toma la variable independiente $x$ se le llama dominio de la función.

Al conjunto de valores que toma la variable dependiente $y$ se le llama recorrido de la función.

Una función se define explicitamente si viene dada como $y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ , es decir, si la variable dependiente, $y$ , esta despejada.

Una función se define implícitamente si viene dada en la forma $\mathrm{f} \left( <pre> \, x, \, y \, </pre> \right) \, = \, 0$ , esto es, si la función se expone como una expresión algebraica igualada a cero.

Ejemplo

La función $y \, = \, \cos \left( \, x \, \right)$ está expresada en forma explícita.

La función $\log y \, - \, x \, = \, 0$ está expresada en forma implícita.

Gráfica

La gráfica de una función $\mathrm{f}$ es el conjunto de puntos del plano definido de la siguiente forma:

$\left\{ <pre> \left( \, x, \, y \, \right) \in R^2 \, \left| \, y \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right) \right. </pre> \right\}$

Ejemplo

La figura de abajo muestra la gráfica de la funcion $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{x^4}{4}$ y cuatro puntos de la misma:

Simetrías

Función par

Una función es par si se cumple que:

$\mathrm{f} \left( \, -x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

Si una función es par, su gráfica presenta una simetría respecto al eje de ordenadas.

Ejemplo

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{x^2}{4}$

Función impar

Una función es impar si se cumple que:

$\mathrm{f} \left( \, -x \, \right) \, = \, -\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$

Si una función es impar, su gráfica presenta una simetría respecto al origen de coordenadas.

Ejemplo

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \frac{x^3}{8}$

Periodicidad

Se dice que una función $\mathrm{f}$ es periódica, de periodo $T$ , con $T \neq 0$ y $T \in R$ , si verifica que:

1. Si $x$ esta en el dominio de $\mathrm{f}$ , entonces $x \, + \, T$ tambien esta en el dominio de $\mathrm{f}$ .

2. $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, \mathrm{f} \left( \, x \, + \, T \, \right)$ para todo $x$ en el dominio de $\mathrm{f}$

3. $T$ es el menor número real que cumple esta condición.

Ejemplo

$\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, 1'2 \cdot \cos \left( \, 5x \, \right)$

Asintotas

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

                                 (cojeremos normalmente los puntos que no pertenecen al dominio)

Ejemplo:

es la asíntota vertical.

Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

(si existe la asistota horizontal no existe la oblicua)

Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

Nota-1

En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

Posicion relativa de la funcion respecto de la asintota

Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:

Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el SIGNO[f(x)-Asíntota].

Ejemplo:

La función tiene por asíntota oblicua la recta

Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).

Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.

Crecimiento y decrecimiento

Función estrictamente creciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es estrictamente creciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} > 0 </pre> $

Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia arriba:

$x_2 > x_1 \Rightarrow \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)$

Una función $f$ es estrictamente creciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ si existe algun número positivo $h$ tal que $\mathrm{f} $ es estrictamente creciente en el intervalo $\left( <pre> \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \, </pre> \right)$ .

De esta esta definición se deduce que si $\mathrm{f}$ es derivable en $x \, = \, a$ y $f$ es estrictamente creciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ , entonces $\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \ge 0$ .

Función creciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es creciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} \ge 0 </pre> $

Función estrictamente decreciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es estrictamente decreciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} < 0 </pre> $

Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha tambien nos movemos hacia abajo:

$x_2 > x_1 \Rightarrow \mathrm{f} \left( \, x_2 \, \right) < \mathrm{f} \left( \, x_1 \, \right)$

Una función $f$ es estrictamente decreciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ si existe algun número positivo $h$ tal que $\mathrm{f} $ es estrictamente decreciente en el intervalo $\left( <pre> \, x \, - \, h, \, x \, + \, h \, </pre> \right)$ .

De esta esta definición se deduce que si $\mathrm{f}$ es derivable en $x \, = \, a$ y $f$ es estrictamente decreciente en el punto de abcisa $x \, = \, a$ , entonces $\mathrm{f}^\prime \left( \, a \, \right) \le 0$ .

Función decreciente en un intervalo

Una función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ es decreciente en un intervalo $\left( <pre> \, a, \, b \, </pre> \right)$ , si para dos valores cualesquiera del intervalo, $x_1$ y $x_2$ , se cumple que:

$\frac{\mathrm{f}\left( \, x_2 \, \right) \, - \, \mathrm{f}\left( \, x_1 \, \right)}{x_2 <pre> \, - \, x_1} \le 0 </pre> $

Extremos relativos

Máximo relativo

Una función $\mathrm{f}$ alcanza un máximo relativo en el punto de abcisa $x_0$ si existe un numero positivo $h$ de forma que $\mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x \, \right)$ para todos los puntos $x$ del intervalo $\left( <pre> \, x_0 \, - \, h, \, x_0 \, + \, h \, </pre> \right)$ .

Si $\mathrm{f}$ es derivable en $x_0$ y $\mathrm{f}$ alcanza un máximo relativo en el punto de abcisa $x_0$ entonces $\mathrm{f}^\prime \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0$ .

Si la función $\mathrm{f}$ es continua, el que $\mathrm{f}$ tenga un máximo relativo en un punto significa que la función es creciente a la izquierda y decreciente a la derecha de ese punto.

Si $\mathrm{f}^\prime \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0$ y $\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, < \, 0$ entonces $\mathrm{f}$ tiene una máximo relativo en el punto de abcisa $x \, = \, x_0$ .

Mínimo relativo

Una función $\mathrm{f}$ alcanza un mínimo relativo en el punto de abcisa $x_0$ si existe un numero positivo $h$ de forma que $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) > \mathrm{f} \left( \, x_0 \, \right)$ para todos los puntos $x$ del intervalo $\left( <pre> \, x_0 \, - \, h, \, x_0 \, + \, h \, </pre> \right)$ .

Si $\mathrm{f}$ es derivable en $x_0$ y $\mathrm{f}$ alcanza un mínimo relativo en el punto de abcisa $x_0$ entonces $\mathrm{f}^\prime \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0$ .

Si la función $\mathrm{f}$ es continua, el que $\mathrm{f}$ tenga un mínimo relativo en un punto significa que la función es decreciente a la izquierda y creciente a la derecha de ese punto.

Si $\mathrm{f}^{\prime} \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0$ y $\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, > \, 0$ entonces $\mathrm{f}$ tiene una mínimo relativo en el punto de abcisa $x \, = \, x_0$ .

Concavidad, convexidad (punto de inflexión)

Convexidad

Si la derivada segunda de $\mathrm{f}$ en $a$ es positiva, entonces $\mathrm{f}^\prime$ es creciente en $a$ y $\mathrm{f}$ es convexa en $a$ .

Concava

Si la derivada segunda de $\mathrm{f}$ en $a$ es negativa, entonces $\mathrm{f}^\prime$ es decreciente en $a$ y $\mathrm{f}$ es concava en $a$ .

[

Puntos de inflexión

Un punto de inflexion es un punto donde la función pasa de ser concava a convexa o viceversa.

La función cuya grafica se muestra en la figura de abajo tiene un punto de inflexión en el origen de coordenadas ( intersección de los ejes X e Y ).

Si $x_0$ es un punto de inflexión de $\mathrm{f}$ , entonces $\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0$ , pero lo reciproco no es cierto en general:

$\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x_0 \, \right) \, = \, 0$ no implica que $x_0$ sea un punto de inflexión de $\mathrm{f}$ .

Ejemplo

La derivada segunda de la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, x^4$ se anula en $x \, = \, 0$ pero $\mathrm{f}$ no tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa $x \, = \, 0$ . $\mathrm{f}$ es covexa en todo su dominio ( R ).

Ejemplo

La derivada segunda de la función $\mathrm{f} \left( \, x \, \right) \, = \, x^3$ se anula en $x \, = \, 0$ .

$\mathrm{f}$ tiene un punto de inflexión en el punto de abcisa $x \, = \, 0$ porque $\mathrm{f}^{\prime \prime} \left( \, x \, \right) \, = \, 6x$ cambia de signo en $x \, = \, 0$ :

si $x < 0$ entonces $\mathrm{f}^{\prime \prime}$ es negativa ( $\mathrm{f}$ es concava ) y si $x > 0$ entonces $\mathrm{f}^{\prime \prime}$ es positiva ( $\mathrm{f}$ es convexa ).

Gráfica

Una vez obtenidos todos los cálculos de todos estos puntos, se realizará un dibujo de la gráfica de dicha función sobre unos ejes coordenados, indicando sobre éste las características más importantes de dicha gráfica.