opinionydecepcion

 

Integrales

Page history last edited by miradionueva@... 2 yrs ago
  1. Teorema 2   (Propiedades de la integral indefinida.)
  2. Tabla de Integrales
  3. Métodos de integración.
    1. Integración por cambio de variable.
    2. Integración por partes.
    3. Integración de funciones racionales.
    4. Integrales trigonométricas. 
    5. Integrales irracionales.

 

 

 

Definición 1   Se dice que una función $F(x)$ es una primitiva de otra función $f(x)$ sobre un intervalo $(a,b)$ si para todo $x$ de $(a,b)$ se tiene que $F'(x)=f(x)$.

 

Teorema 1   Sean $F_1(x)$ y $F_2(x)$ dos primitivas de la función $f(x)$ en $(a,b)$. Entonces, para todo $x$ de $(a,b)$, $F_1(x)-F_2(x)=const$. Es decir dada una función $f(x)$ sus primitivas difieren en una constante (en adelante denotaremos por $C$ a una constante cualquiera).

 

 

Definición 2   El conjunto de todas las primitivas de una función $f(x)$ definida en $(a,b)$ se denomina integral indefinida de $f(x)$ y se denota por $\displaystyle \int f(x) dx $. De manera que, si $F(x)$ es una primitiva de $f(x)$,

 

begin{displaymath} int f(x) dx = F(x) + C end{displaymath} (2)

 

 

Teorema 2   (Propiedades de la integral indefinida.)

 

  1. $\displaystyle\frac{d}{d x}\left[\displaystyle \int f(x) dx \right]=f(x)$
  2. $\displaystyle \int dF(x) = F(x) + C$
  3. $\forall\alpha,\beta\in\mbox{${\mathbb{R}}$} $, $\displaystyle \int [\alpha f(x) + \beta g(x)] dx = \displaystyle\alpha \int f(x) dx +\beta \displaystyle \int g(x) dx $

 

 

Tabla de Integrales

 

 

  1. $\displaystyle \int 0 dx = C$
  2. $\displaystyle \int 1 dx = x+C$
  3. $\displaystyle \int x^\alpha dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C, \quad \forall \alpha\in \mbox{${\mathbb{R}}$} ,\quad \alpha\neq -1 $
  4. $\displaystyle \int \frac{1}{x} dx =\ln \vert x\vert+C $
  5. $\displaystyle \int a^x dx = \frac{a^x}{ \ln a}+C ,\quad\quad a>0, a\neq 1$
  6. $\displaystyle \int \mbox{sen }x dx =-\cos x+C $
  7. $\displaystyle \int \cos x dx = \mbox{sen }x+C $
  8. $\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{\cos^2 x} dx =\tan x +C $
  9. $\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{\mbox{sen }^2 x} dx =-\mbox{ ctg }x +C $
  10. $\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \left\{ \begin{array}{l} \mbox{ arcsen }x + C \\ -\arccos x +C \end{array} \right. $
  11. $\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{ {1+ x^2}} dx = \left\{ \begin{array}{l} \arctan x + C \\ -\mbox{ arcctg }x +C \end{array} \right. $
  12. $\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x^2\pm 1}} dx = \ln\left\vert x+\sqrt{x^2\pm 1}\right\vert+C$
  13. $\displaystyle \int \displaystyle\frac{1}{{x^2-1}} dx =\frac{1}{2} \ln\left\vert\frac{ x-1}{x+1}\right\vert+C$
  14. $\displaystyle \int \mbox{sh } x dx =\mbox{ch } x+C$
  15. $\displaystyle \int \mbox{ch } x dx =\mbox{sh } x+C$
  16. $\displaystyle \int \frac{1}{\mbox{ch }^2 x} dx =\tanh x +C$
  17. $\displaystyle \int \frac{1}{\mbox{sh }^2 x} dx = \mbox{cth } x + C$

 

 

Métodos de integración.

 

 

 

Integración por cambio de variable.

 

 

Teorema 3   Sea $t=\phi(x)$ una función derivable en $x$ y sean $X=(a,b)$ el dominio y $T=\phi[(a,b)]$ la imagen de $\phi(x)$. Supongamos que sobre el conjunto $T$ existe la primitiva de la función $g(t)$, o sea,

 

\begin{displaymath} \displaystyle \int g(t)dt =G(t) + C. \end{displaymath}

Entonces sobre todo el conjunto $(a,b)$ la función $g[\phi(x)]\phi'(x)$ tiene una primitiva y además

 

\begin{displaymath} \displaystyle \int g[\phi(x)]\phi'(x) dx = G[\phi(x)] + C. \end{displaymath}

Ejemplos:

 

a) Calcular $\displaystyle \int \cos(2x) dx $. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la tabla. Para ello hacemos:

 

\begin{displaymath} \displaystyle \int \cos(2x) dx =\left\{ \begin{array}{l} ... ...\frac{1}{2} \mbox{sen }y +C= \frac{1}{2} \mbox{sen }(2x) + C \end{displaymath}

b) Calcular $\displaystyle \int e^{\cos x }\mbox{sen }x dx $. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la tabla:

 

\begin{displaymath} \displaystyle \int e^{\cos x}\mbox{sen }x dx =\left\{ \b... ...ht\} = -\displaystyle \int e^y dy = - e^y +C= - e^{\cos x} + C \end{displaymath}


Integración por partes.

Supongamos que las funciones $u(x)$ y $v(x)$ son derivables en un intervalo $(a,b)$ y existe la primitiva de la función $v(x)u'(x)$ en $(a,b)$. Entonces, sobre $(a,b)$ existe la primitiva de $u(x)v'(x)$ y se cumple que

 

begin{displaymath} displaystyle int u(x) v'(x) dx = u(x)v(x) - displaystyle int v(x)u'(x) dx , end{displaymath} (3)

o en forma diferencial

 

begin{displaymath} displaystyle int u(x) dv(x)= u(x)v(x) - displaystyle int v(x)du(x). end{displaymath} (4)

Ejemplos:

 

a) Calcular $\displaystyle \int x^n \ln x dx $. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la tabla. Utilicemos la integración por partes:

 

\begin{displaymath} \begin{array}{l} \displaystyle \int x^n \ln x dx = \left\... ...{n+1}}{n+1}\left( \ln x - \frac{1}{n+1} \right) + C \end{array}\end{displaymath}

b) Calcular $I= \displaystyle \int e^{ax} \cos bx dx $. Como la integral no es de la tabla es necesario convertirla en una de la tabla. Utilizemos la integración por partes:

 

\begin{displaymath} \begin{array}{l} I = \displaystyle \int e^{ax}\cos bx dx ... ...{b} \displaystyle \int e^{ax}\mbox{sen }bx dx . \end{array}\end{displaymath}

La integral $ \displaystyle \int e^{ax}\mbox{sen }bx dx $ es de la misma forma que la original así que volveremos a aplicar integración por partes:

 

\begin{displaymath} \begin{array}{l} \displaystyle \int e^{ax}\mbox{sen }bx ... ...frac{a}{b} \displaystyle \int e^{ax}\cos bx dx . \end{array}\end{displaymath}

Juntando las dos fórmulas anteriores concluimos que

 

\begin{displaymath} I= \frac{e^{ax}\mbox{sen }bx }{b} + \frac{a}{b^2} {e^{ax}\cos bx } - \frac{a^2}{b^2} I, \end{displaymath}

de donde, resolviendo la ecuación respecto a $I$ obtenemos:

 

\begin{displaymath} I = \displaystyle \int e^{ax}\cos bx dx = \frac{b \mbox{sen }bx + a \cos bx }{a^2+b^2}e^{ax}+C. \end{displaymath}

Algunas de las integrales que pueden ser calculadas utilizando la integración por partes son:
  1. Las integrales donde aparezcan las funciones $\ln x$, $\mbox{ arcsen }x$, $\arccos x$, $\ln \phi(x)$, potencias enteras de las funciones anteriores, entre otras donde tendremos que escoger como función $u(x)$ a alguna de las funciones anteriores (ver ejemplo a).
  2. Las integrales $\displaystyle \int (ax+b)^n \mbox{sen }cx dx $, $\displaystyle \int (ax+b)^n \cos cx dx $ y $\displaystyle \int (ax+b)^n e^{cx} dx $. Donde para encontrar las primitivas hay que utilizar la fórmula de integración por partes $n$ veces tomando cada vez $u(x)=(ax+b)^n$, $u(x)=(ax+b)^{n-1}$, ...., respectivamente.
  3. Las integrales de la forma $ \displaystyle \int e^{ax}\mbox{sen }bx dx $, $\displaystyle \int e^{ax}\cos bx dx $, $\displaystyle \int \mbox{sen }(\ln x) dx $ y $\displaystyle \int \cos(\ln x) dx $. Para encontrar las primitivas hay que denotar por $I$ a cualquiera de las integrales anteriores, aplicar dos veces integración por partes y resolver la ecuación resultante respecto a $I$ (ver ejemplo b).

 

 

 

Integración de funciones racionales.

\begin{dff} Diremos que una funci\'on racional $f(x)=\displaystyle\frac{P_n(x)}{... ...mio $P_n(x)$ es menor que el del polinomio $Q_m(x)$, o sea, si $n<m$. \end{dff}

Si $n>m$ entonces podemos dividir los polinomios $P_n(x)$ y $Q_m(x)$ de tal forma que

 

\begin{displaymath} \displaystyle\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}= p_{n-m}(x)+\displaystyle\frac{R_k(x)}{Q_m(x)}, \quad \mbox{donde}\quad k<m. \end{displaymath}

 

Teorema 4   Supongamos que $ \displaystyle\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ es una fracción simple, y que el polinomio denominador se puede factorizar de la siguiente forma

 

begin{displaymath} Q_n(x)= (x-x_1)^{n_1}cdots (x-x_p)^{n_p} (x^2+p_1 x +q_1)^{m_1}cdots (x^2+p_k x +q_k)^{m_k}, end{displaymath} (5)

donde $x_1,...,x_p$ son las raíces reales de $Q_m(x)$, y los factores $x^2 + p_i x + q_i, i=1,..,k$ no tienen raíces reales. Entonces, la fracción simple $ \displaystyle\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ se puede descomponer en las siguientes fracciones elementales simples:

 

begin{displaymath}begin{array}{rl} displaystylefrac{P_n(x)}{Q_m(x)}= & disp... ...k)^{m_k}}+cdots+frac{L_1x+K_1}{(x^2+p_k x +q_k)}, end{array}end{displaymath} (6)

donde $A_i$, $B_i$, $M_i$, $N_i$, $L_i$ y $K_i$ son ciertas constantes reales.
Para determinar dichas constantes sumamos los términos de la derecha. Nótese que el denominador común coincide con (5) y el numerador es un polinomio de grado a lo sumo $n$. Luego comparamos el polinomio numerador que se obtiene al sumar las fracciones más simples en (6) con $P_n(x)$. Igualando los coeficientes de ambos obtendremos un sistema de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas que podemos resolver para encontar los coeficientes indeterminados $A_i$, $B_i$, $M_i$, $N_i$, $L_i$ y $K_i$. No obstante es posible encontrar el coeficiente $A_{n_i}$ de los sumandos correspondientes a uno de los ceros reales $x_i$, o sea, el $A_{n_i}$ de

 

\begin{displaymath} \frac{A_{n_i}}{(x-x_i)^{n_i}}+\frac{A_{n_i-1}}{(x-x_i)^{n_i-1}}+\cdots+\frac{A_1}{(x-x_i)}, \end{displaymath}

utilizando la propiedad que

 

begin{displaymath} lim_{xto x_i} displaystylefrac{P_n(x)(x-x_i)^{n_i}}{Q_m(x)}= A_{n_i}. end{displaymath} (7)

Como consecuencia de lo anterior, si $Q_m(x)$ tiene $m$ ceros reales y simples, o sea, si su factorización es de la forma

 

begin{displaymath} Q_n(x)= (x-x_1)(x-x_2)cdots (x-x_{m-1})(x-x_m), end{displaymath} (8)

entonces, $ \displaystyle\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$ se puede descomponer en las fracciones elementales simples:

 

 

begin{displaymath}begin{array}{rl} displaystylefrac{P_n(x)}{Q_m(x)}= & disp... ...s+frac{A_{m-1}}{(x-x_{m-1})}+ frac{A_m}{(x-x_m)}, end{array}end{displaymath} (9)

donde $A_1$,..., $A_m$ se calculan por la fórmula

 

begin{displaymath} A_k=lim_{xto x_k} displaystylefrac{P_n(x)(x-x_k)}{Q_m(x)},quad k=1,2,...,m. end{displaymath} (10)

 

Teorema 5   (Primitivas de las fracciones simples más elementales) 

 

begin{displaymath} begin{array}{l} 1)quad displaystyleint frac{A}{x-a} d... ...qrt{4q-p^2}}arctan frac{2x+p}{sqrt{4q-p^2}} +C . end{array}end{displaymath} (11)

Ejemplos:

 

a) Calcular $\displaystyle\int \frac{x}{x^2-3x+2} dx $. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales:

 

\begin{displaymath} \frac{x}{x^2-3x+2}= \frac{x}{(x-1)(x-2)}= \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}. \end{displaymath}

Luego, utilizando (10) obtenemos

 

\begin{displaymath} A=\lim_{x\to 1} \frac{x(x-1)}{(x-1)(x-2)}=-1,\quad B=\lim_{x\to 2} \frac{x(x-2)}{(x-1)(x-2)}=2. \end{displaymath}

Finalmente, utilizando (11) obtenemos

 

\begin{displaymath} \displaystyle\int \frac{x}{x^2-3x+2} dx = \displaystyle\in... ...2}{x-2}\right) dx = -\ln\vert x-1\vert+2\ln\vert x-2\vert+C. \end{displaymath}

a) Calcular $\displaystyle\int \frac{x}{(x-1)^2 (x^2+1)} dx $. Primero encontraremos las fracciones simples mas elementales:

 

\begin{displaymath} \frac{x}{(x-1)^2(x^2+1)}= \frac{A}{(x-1)^2}+ \frac{B}{x-1}+\... ...= \frac{A(x^2+1)+B(x^2+1)(x-1)+(Cx+D)(x-1)^2}{(x-1)^2(x^2+1)}. \end{displaymath}

Para encontrar los coeficientes $A,B,C,D$ igualamos los polinomios de los numeradores:

 

\begin{displaymath} x=A(x^2+1)+B(x^2+1)(x-1)+(Cx+D)(x-1)^2. \end{displaymath}

Dos polinomios de grado 3 son iguales si los coeficientes de las potencias $x^3$, $x^2$, $x$ y $x^0$ son iguales, por lo que igualando dichos coeficientes obtenemos el sistema de ecuaciones:

 

\begin{displaymath}\begin{array}{cc} \begin{array}{lr} x^3: & B+C=0 x^2: & A-... ...\frac{1}2 B= 0 C=0 D=-\frac{1}2 \end{array}\end{array}\end{displaymath}

También es posible utilizar otra propiedad de los polinomios: dos polinomios de grado $n$ que toman $n-1$ valores iguales en $n+1$ puntos dados son identicamente iguales, es decir, si $P_n(x_k)=Q_n(x_k)$ para ciertos $x_1,...,x_{n+1}$ (distintos entre si), entonces $P_n(x)\equiv Q_n(x)$ para todo $x\in \mbox{${\mathbb{R}}$} $. En nuestro ejemplo es conveniente tomar como los $x_k$ los ceros de los polinomios denominadores y luego el resto de los valores tomarlos los más sencillos posibles:

 

\begin{displaymath} \begin{array}{cc} \begin{array}{lr} x=1: & A= \frac{1}2 x... ...\frac{1}2 B= 0 C=0 D=-\frac{1}2 \end{array}\end{array}\end{displaymath}

que coincide con la encontrada por el método anterior. Luego,

 

\begin{displaymath} \displaystyle\int \frac{x}{(x-1)^2 (x^2+1)} dx =\frac{1}2 ... ...2+1} \right] dx = - \frac{1}{2(x-1)}-\frac{1}2 \arctan x +C. \end{displaymath}

 


 

 

Integrales trigonométricas. 

 

En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma $\displaystyle \int f(\mbox{sen }x,\cos x) dx $ las cuales se convierten en integrales racionales mediante la sustitución trigonométrica $t=\tan \frac{x}2$,

 

\begin{displaymath} \int f(\mbox{sen }x,\cos x) dx = \left\{ \begin{array}{l... ...\frac{2t}{1+t^2},\frac{1-t^2}{1+t^2}\right) \frac{2}{1+t^2}dt, \end{displaymath}

que es un integral de una función racional.

 

Ejemplo. Calcular la integral $\displaystyle\int\frac{ dx }{\mbox{sen }x}$.

 

\begin{displaymath} \displaystyle\int\frac{ dx }{\mbox{sen }x} = \left\{ \beg... ...t = \ln\vert t\vert+C=\ln\left\vert\tan\frac{x}2\right\vert+C. \end{displaymath}

Existen varios tipos de integrales trigonométricas que se pueden racionalizar con cambios más sencillos. Ellas son las siguientes:
  1. $\displaystyle \int f(\mbox{sen }x,\cos x) dx $, donde $f(-\mbox{sen }x,\cos x)=-f(\mbox{sen }x,\cos x)$, cambio $t=\cos x$
  2. $\displaystyle \int f(\mbox{sen }x,\cos x) dx $, donde $f(\mbox{sen }x,-\cos x)=-f(\mbox{sen }x,\cos x)$, cambio $t=\mbox{sen }x$
  3. $\displaystyle \int f(\mbox{sen }x,\cos x) dx $, donde $f(-\mbox{sen }x,-\cos x)=f(\mbox{sen }x,\cos x)$, cambio $t=\tan x$

Ejemplos.

 

a) Calcular la integral $\displaystyle\int\frac{ dx }{\mbox{sen }x}$. Esta integral es del tipo 1. Luego,

 

\begin{displaymath} \displaystyle\int\frac{ dx }{\mbox{sen }x} = \left\{ \beg... ...}{1-t}\right\vert+C =\ln\left\vert\tan\frac{x}2 \right\vert+C. \end{displaymath}

que coincide con el resultado obtenido al utilizar la sustitución $t=\tan \frac{x}2$

b) Calcular la integral $\displaystyle\int\cos^3 x { dx }$. Esta integral es del tipo 2. Luego,

 

\begin{displaymath} \displaystyle\int\cos^3 x dx = \left\{ \begin{array}{l... ...\frac{1}3 t^3+C= \mbox{sen }x -\frac{\mbox{sen }^3 x}3 + C. \end{displaymath}

c) Calcular la integral $\displaystyle\int\tan^3 x { dx }$. Esta integral es del tipo 3. Luego,

 

\begin{displaymath}\begin{array}{l} \displaystyle\int\tan^3 x dx = \left\{... ...2 x)+C = \frac{\tan^2 x}2 + \ln\vert\cos x\vert+C. \end{array}\end{displaymath}


 

Integrales irracionales.

 

En este apartado vamos a estudiar las integrales de la forma $\displaystyle \int f(x,\sqrt{x^2 \pm a^2} ) dx $, $\displaystyle \int f(x,\sqrt{a^2 - x^2} ) dx $ y $\displaystyle \int f\left( x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right) dx$.

Las integrales $\displaystyle \int f(x,\sqrt{x^2 \pm a^2} ) dx $ y $\displaystyle \int f(x,\sqrt{a^2 - x^2} ) dx $.

Estas integrales irracionales se convierten en integrales trigonométricas mediante los cambios:

  1. $\displaystyle \int f(x,\sqrt{a^2 - x^2} ) dx $, cambio $x=a\mbox{sen }t$
  2. $\displaystyle \int f(x,\sqrt{x^2 - a^2} ) dx $, cambio $\displaystyle x=\frac{a}{\mbox{sen }t}$
  3. $\displaystyle \int f(x,\sqrt{x^2 + a^2} ) dx $, cambio $x=a \tan t$

Ejemplos.

 

a) Calcular la integral $\displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2} { dx } $. Esta integral es del tipo 1. Luego,

 

\begin{displaymath} \displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2} { dx } = \left\{ \begin{ar... ...\cos^2 t{dt} = \frac{a^2}2 t + \frac{a^2}4 \mbox{sen }2t + C, \end{displaymath}

pero, $\mbox{sen }2t=2sen t\cos t=2\mbox{sen }t\sqrt{1-\mbox{sen }^2 t}=\frac{2x}{a^2}\sqrt{a^2-x^2}$, por tanto

 

\begin{displaymath} \displaystyle\int\sqrt{a^2-x^2} { dx } = \frac{a^2}2 \mbox{ arcsen }\frac{x}a + \frac{x}2 \sqrt{a^2-x^2} + C. \end{displaymath}

b) Calcular la integral $\displaystyle\int\sqrt{x^2-a^2} { dx } $. Esta integral es del tipo 2. Luego,

 

\begin{displaymath}\begin{array}{l} \displaystyle\int\sqrt{x^2-a^2} { dx } ... ...\ln\left\vert\frac{y-1}{y+1} \right\vert \right]+C, \end{array}\end{displaymath}

pero, $y=\cos t=\sqrt{1-\mbox{sen }^2 t}=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}$, por tanto

 

\begin{displaymath} \displaystyle\int\sqrt{x^2-a^2} { dx } = \frac{x}{2} \sqrt... ... \frac{a^2}2 \ln\left\vert {x+ \sqrt{x^2-a^2}} \right\vert +C. \end{displaymath}

c) Calcular la integral $\displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2} { dx } $. Esta integral es del tipo 3. Luego,

 

\begin{displaymath}\begin{array}{l} \displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2} { dx } = \... ...\ln\left\vert\frac{y+1}{y-1} \right\vert \right]+C, \end{array}\end{displaymath}

pero, $y=\mbox{sen }t=\frac{\tan t}{\sqrt{1+\tan^2 t}}=\frac{x}{\sqrt{x^2+a^2}}$, por tanto

 

\begin{displaymath} \displaystyle\int\sqrt{x^2+a^2} { dx } = \frac{x}{2} \sqrt... ... \frac{a^2}2 \ln\left\vert {x+ \sqrt{x^2+a^2}} \right\vert +C. \end{displaymath}

Las integrales $\displaystyle \int f\left( x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right) dx$. Las integrales del tipo

 

\begin{displaymath} \int f\left( x, \sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}} \right) dx, \end{displaymath}

se racionalizan mediante el cambio $t=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}$.

Ejemplo Calcular la integral $\displaystyle\int\frac{d x}{1+\sqrt[3]{x+1}}$. Esta integral se racionaliza con el cambio $t=\sqrt[3]{x+1}$. Luego,

 

\begin{displaymath} \displaystyle\int\frac{d x}{1+\sqrt[3]{x+1}}= \left\{ \b... ...-1)dt + 3 \int \frac{dt}{t+1} = \frac{3}{2}t(t-2)+3\ln(1+t)+C, \end{displaymath}

de donde, deshaciendo el cambio $t=\sqrt[3]{x+1}$, obtenemos

 

\begin{displaymath} \frac{3}{2}\sqrt[3]{x+1}(\sqrt[3]{x+1}-2)+3\ln(1+\sqrt[3]{x+1})+C. \end{displaymath}

Comments (0)

You don't have permission to comment on this page.

Printable version
 
Anonymous Create an account or Log in