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Matrices

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Matrices

Definición de matriz

Una matriz es un cuadrado o tabla de numeros ordenados. Se llama matriz de dimension $m \times n$ a un conjunto de números reales dispuestos en $m$ filas y $n$ columnas de la siguiente forma

$\left( <pre> \begin{array}[c]{cccc} a_{11 }& a_{12} & \ldots & a_{1n} \\ a_{21 }& a_{22} & \ldots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1 }& a_{m2} & \ldots & a_{mn} \end{array} </pre> \right)$

La matriz $A$ se puede denotar tambien como $\quad A = \left( a_{ij} \right) \quad$ donde

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{l} i = 1, \, 2, \, \ldots, \, m \\ j = 1, \, 2, \, \ldots, \, n \end{array} </pre> \right.$

$a_{ij}$ designa un elemento generico de la matriz $A$ , el elemento que se encuentra en la i-esima fila y j-esima columna.

El conjunto de matrices de dimension $m \times n$ se denota por:

$M_{m \times n}$

El conjunto de matrices de dimension $n \times n$ , tambien llamadas de orden $n$ , se denota por:

$M_n$

Las matrices de este conjunto se llaman matrices cuadradas y en ellas definimos:

la diagonal principal formada por los elementos de la forma

$a_{ii}$

la diagonal secundaria formada por los elementos de la forma

$a_{ij}$ tales que $i + j = n + 1$

Una matriz rectangular es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas $\left( <pre> m \neq n </pre> \right)$ .

Ejemplo de matriz rectangular

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 2 & ~~3 & -1 \end{array} \right) </pre> $

Matriz fila es toda matriz rectangular con una sola fila de dimension $1 \times n$ .

Ejemplo de matriz fila

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} -1 & 3 & 5 \end{array} \right) </pre> $

Matriz columna es toda matriz rectangular con una sola columna de dimension $m \times 1$ .

Ejemplo de matriz columna

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{c} -1 \\ ~~3 \end{array} \right) </pre> $

Una matriz nula es una matriz rectangular con todos sus elementos nulos. Se denota por $\mathbf{0}$ .

Ejemplo de matriz nula

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) </pre> $

Matriz triangular superior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por debajo de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz triangular superior

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & -1 & ~~0 \\ 0 & ~~3 & -1 \\ 0 & ~~0 & ~~2 \end{array} \right) </pre> $

Matriz triangular inferior es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos situados por encima de la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz triangular inferior

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & ~~0 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right) </pre> $

Matriz diagonal es toda matriz cuadrada en la que todos los terminos no situados en la diagonal principal son ceros.

Ejemplo de matriz diagonal

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} ~~2 & ~~0 & ~~0 \\ ~~0 & -1 & ~~0 \\ ~~0 & ~~0 & ~~3 \end{array} \right) </pre> $

Matriz escalar es toda matriz diagonal en la que todos los terminos de la diagonal principal son iguales.

Ejemplo de matriz escalar

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 2 & {0} & {0} \\ {0} & 2 & {0} \\ {0} & {0} & 2 \end{array} \right) </pre> $

Matriz unidad o identidad es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal son todos 1.

Ejemplo de matriz unidad

$ <pre> \left( \begin{array}[c]{ccc} 1 & {0} & {0} \\ {0} & 1 & {0} \\ {0} & {0} & 1 \end{array} \right) </pre> $

Operaciones con matrices

Suma de matrices

Para dos matrices $A = \left( a_{ij} \right)$ y $B = \left( b_{ij} \right)$ de la misma dimension $m \times n$ , la suma de $A$ y $B$ es la matriz de la misma dimension $m \times n$ , dada por

$A + B = \left( a_{ij} \right) + \left( b_{ij} \right) = \left( a_{ij} + b_{ij} \right)$

Ejemplo

$A + B = \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_{11 }& a_{12} & a_{13} \\ a_{21 }& a_{22} & a_{23} \\ a_{31 }& a_{32} & a_{33} \end{array} </pre> \right) + \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} b_{11 }& b_{12} & b_{13} \\ b_{21 }& b_{22} & b_{23} \\ b_{31 }& b_{32} & b_{33} \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_{11 } + b_{11 } & a_{12} + b_{12} & a_{13} + b_{13} \\ a_{21 } + b_{21 } & a_{22} + b_{22} & a_{23} + b_{23} \\ a_{31 } + b_{31 } & a_{32} + b_{32} & a_{33} + b_{33} \end{array} </pre> \right)$

[

Propiedades de la suma de matrices

1. Asociativa

$A + \left( <pre> B + C </pre> \right) = \left( <pre> A + B </pre> \right) + C$

2. Elemento neutro. La matriz nula, $0,$ de la dimension correspondiente es el elemento neutro para la suma, ya que:

$A + 0 = 0 + A = A$

3. Elemento opuesto. Para la matriz $A$ existe otra matriz que denotamos por $-A$ y que llamamos matriz opuesta de $A,$ que cumple:

$A + \left( <pre> -A </pre> \right) <pre>= 0 </pre> $

4. Comutativa

$A + B = B + A$

Producto de un numero por una matriz

Para un número real $k$ y una matriz $A = \left( a_{ij} \right)}$ de dimension $m \times n$ , el producto de un número real por una matriz es la matriz de la misma dimension $m \times n$ dada por

$k \cdot A = k \cdot \left( a_{ij} \right) = \left( k \cdot a_{ij} \right)$

Es decir, el producto $k \cdot A$ se obtiene multiplicando el numero real por cada uno de los elementos de la matriz.

Ejemplo

$k \cdot A = k \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a_{11 }& a_{12} \\ a_{21 }& a_{22} \\ a_{31 }& a_{32} \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} k \cdot a_{11 }& k \cdot a_{12} \\ k \cdot a_{21 }& k \cdot a_{22} \\ k \cdot a_{31 }& k \cdot a_{32} \end{array} </pre> \right)$

Producto de matrices

El producto de dos matrices $A = \left( a_{ij} \right)$ de dimension $m \times n$ y $B = \left( b_{ij} \right)$ de dimension $n \times p$ , es la matriz $A \cdot B$ dada por:

$A \cdot B = \left( c_{ij} \right)$

con

$ <pre>c_{ij} = \sum_{j = 1}^n a_{ij} \cdot b_{jk} </pre> $

Es decir, cada elemento $c_{ik}$ se obtiene multiplicando la fila i-ésima de la primera matriz por la columna k-ésima de la segunda matriz.

Ejemplo

$\left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} ~~7 & ~~8 \\ ~~9 & ~~0 \\ -1 & -2 \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 \cdot 7 + 2 \cdot 9 + 3 \cdot \left( -1 \right) & 1 \cdot 8 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot \left( -2 \right) \\ 4 \cdot 7 + 5 \cdot 9 + 6 \cdot \left( -1 \right) & 4 \cdot 8 + 5 \cdot 0 + 6 \cdot \left( -2 \right) \end{array} </pre> \right)$

Propiedades del producto de matrices

1. El producto de matrices cuadradas es asociativo:

$A \cdot \left( <pre> B \cdot C </pre> \right) = \left( <pre> A \cdot B </pre> \right) \cdot C$

2. El producto de matrices cuadradas de orden $n$ posee como elemento neutro la matriz unidad o identidad $I$ de orden $n$ ya que:

$A \cdot I = I \cdot A = A$

3. El producto de matrices cuadradas es distributivo respecto de la suma de matrices:

$A \cdot \left( <pre> B + C </pre> \right) <pre>= A \cdot B + A \cdot C </pre> $

Matriz traspuesta

Se llama matriz traspuesta de una matriz $A$ de dimension $m \times n$ , a la matriz que se obtiene al cambiar en $A$ las filas por columnas o las columnas por filas. Se representa por $A^t$ y su dimension es $n \times m$

Propiedades

$\left( \, A^t \, \right)^t = A$ $\left( \, A + B \, \right)^t = A^t + B^t$ $\left( \, k \cdot A \, \right)^t = k \cdot A^t$ $\left( \, A \cdot B \, \right)^t = B^t \cdot A^t$

Matriz simetrica

Se llama matriz simetrica a toda matriz cuadrada $A$ que coincide con su transpuesta: $A = A^t$ . En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la diagonal principal son iguales.

Ejemplo

$\left($

Matriz antisimetrica

Se llama matriz antisimetrica a toda matriz cuadrada $A$ que coincide con la opuesta de su transpuesta: $A = -A^t$ . En una matriz simetrica cualquier par de elementos simetricos respecto a la diagonal principal son opuestos.

Matriz inversa

La matriz inversa de una matriz cuadrada $A$ de orden $n,$ es la matriz, $A^{-1}$ , de orden $n$ que verifica:

$A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$

donde $I$ es la matriz identidad de orden $n$ .

Las matrices que tienen inversas se llaman regulares y las que no tienen inversa matrices singulares.

Las propiedades más importantes relativas a la matriz inversa:

1. Si existe, $A^{-1}$ es única.

2. $\left( <pre> A^{-1} </pre> \right) ^{-1} = A$

3. $\left( <pre> A \cdot B </pre> \right) ^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}$

Cálculo de la matriz inversa

Para calcular la matriz inversa de una matriz regular podemos utilizar dos procedimientos:

Mediante la definicion

Ejemplo

$A = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right)$

hacemos

$A^{-1} = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right)$

como

$I = A \cdot A^{-1} \Rightarrow \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{array} </pre> \right) \cdot \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a & b \\ c & d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right)$

Operando:

$\left( <pre> \begin{array}[c]{cc} a + 2c & b + 2d \\ 3a + 7c & 3b + 7d \end{array} </pre> \right) = \left( <pre> \begin{array}[c]{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} </pre> \right) \Leftrightarrow \left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} a + 2c & = & 1 \\ 3a + 7c & = & 0 \\ b + 2d & = & 0 \\ 3b + 7d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

$\Rightarrow \left\{ <pre> \begin{array}[c]{ccc} a & = & 7 \\ b & = & -2 \\ c & = & -3 \\ d & = & 1 \\ \end{array} </pre> \right.$

Método de Gauss-Jordan

La inversa de una matriz regular $A$ se calcular transformando la matriz $\left( <pre>\, A \, \left| \, I \, \right. </pre> \right)$ mediante operaciones elementales por filas en la matriz $\left( <pre>\, I \, \left| \, A^{-1} \, \right. </pre> \right)$

Operaciones elementales por filas en una matriz

Las operaciones elementales por filas en una matriz son las siguientes:

1. Intercambiar las filas $i$ y $j,$ que designaremos por $F_i \longrightarrow F_j$

2. Multiplicar la fila $i$ por el numero $k \neq 0$ y sustituirla por el resultado; lo designamos por $F_i \to k \cdot F_i$

3. Multiplicar la fila $i$ por el numero $k \neq 0$ y sustituirla por el resultado; lo designamos por $F_i \to k \cdot F_i$

4. Sumar las filas $i$ y $j,$ , multiplicadas por sendos números, y llevar el resultado a la fila $i$ o $j$ . Lo designamos por $F_i$ o $F_j \to k \cdot F_i + t \cdot F_j$

Rango de una matriz

En una matriz

podemos considerar sus filas y sus columnas como vectores.

El rango de una matriz es el número de filas o de columnas linealmente independientes que tiene esa matriz. El rango de una matriz es, por tanto, siempre menor igual que su numero de filas, y tambien, menor igual que su numero de columnas. Las unicas matrices con rango 0 son las matrices nulas.