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Rectas y Planos

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Recta en el espacio
Plano en el espacio
Posición relativa de dos planos
1. Introduccion
2. Casos que se pueden dar:
Posición relativa de tres planos
1. Introduccion
2. Casos que se pueden dar
Posicion relativa entre recta y plano
1. Introduccion
2. Casos que se pueden dar:
Posicion relativa de dos restas
1. Introducción
2. Casos que se pueden dar:

Recta en el espacio

Introducción

Al igual que ocurre en el plano, una recta en el espacio queda determinada conociendo un punto $P$ y un vector no nulo $\vec {\mathbf{v}}$ que se llama vector director o direccional de la recta.

Estudiamos a continuacion las diferentes formas que puede adoptar la ecuacion de una recta.

Ecuacion en forma vectorial

La recta que pasa por el punto $P_0 = \left( <pre>\, x_0, \, y_0, \, z_0 \, </pre> \right)$ y tiene por vector director $\vec {\mathbf{v}} = \left( <pre>\, v_x, \, v_y, \, v_z \, </pre> \right)$ es el conjunto de puntos $P$ del espacio que verifican la relacion vectorial $\stackrel{\longrightarrow}{P_0P} = \lambda \vec {\mathbf{v}}$ con $\lambda \in R$

Teniendo en cuenta la suma de vectores se verifica que:

$\stackrel{\longrightarrow}{OP} \, \, = \, \, \stackrel{\longrightarrow}{OP_0} + \stackrel{\longrightarrow}{P_0P}$

Si identificamos el punto $P$ con el vector que va desde el origen de coordenadas hasta el punto $P,$ $\stackrel{\longrightarrow}{OP}$ , se tiene que $P = P_0 + \lambda \cdot \vec{\mathbf{v}}$

que se denomina ecuación vectorial de la recta.

Ecuación en forma paramétrica

Desarrollando la ecuación vectorial anterior expresada en coordenadas, tenemos:

$</pre> \left( <pre> \, x, \, y, \, z \, \right) \, = \, \left( \, x_0, \, y_0, \, z_0 \, \right) \, + \, \left( \, \lambda v_x, \, \lambda v_y, \, \lambda v_z \, \right) \, = \, \left( \, x_0 \, + \, \lambda v_x, \, y_0 \, + \, \lambda v_y, \, z_0 \, + \, \lambda v_z \, \right)$

Igualando componentes resulta:

$r: \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x & = & x_0 \, + \, \lambda v_x \\ y & = & y_0 \, + \, \lambda v_y \\ z & = & z_0 \, + \, \lambda v_z \end{array} </pre> \right.$

Expresión que se denomina ecuación de la recta en forma paramétrica o ecuaciones paramétricas de la recta.

Ecuación en forma continua

Si, en las ecuaciones paramétricas, $v_x$ , $v_y$ y $v_z$ son distintos de cero, se puede despejar en cada una de ellas el parametro $\lambda$

$\lambda \, = \, \frac{x \, - \, x_0}{v_x}; \qquad \lambda \, = \, \frac{y \, - \, <pre> y_0}{v_y}; \qquad \lambda \, = \, \frac{z \, - \, z_0}{v_z} </pre> $

Igualando las expresiones obtenidas resulta:

$r: \, \frac{x \, - \, x_0}{v_x} \, = \, \frac{y \, - \, y_0}{v_y} \, = \, \frac{z \, - \, z_0}{v_z}$

que es la ecuación de la recta en forma continua.

Ecuación en forma cartesiana o implícita

A partir de la ecuación en forma continua de la recta podemos obtener las dos ecuaciones siguientes:

$\frac{x \, - \, x_0}{v_x} \, = \, \frac{y \, - \, y_0}{v_y}$

$\frac{y \, - \, y_0}{v_y} \, = \, \frac{z \, - \, z_0}{v_z}$

que se pueden reescribir de la forma:

$r: \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{c} a \cdot x \, + \, b \cdot y \, + \, c \cdot z \, + \, d \, = \, 0 \\ a^\prime \cdot x \, + \, b^\prime \cdot y \, + \, c^\prime \cdot z \, + \, d^\prime \, = \, 0 \end{array} </pre> \right.$

y que se conocen con el nombre de ecuación implícita o cartesiana de la recta.

Ejemplo

Determinemos las ecuaciones de la recta $r$ que pasa por los puntos:

$P \, = \, \left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right) \qquad \mathbf{y} \qquad Q \, = \, \left( <pre> \, -1, \, -2, \, -3 \, </pre> \right)$

Un vector director de $r$ es, por ejemplo, el vector que va desde el punto $P$ hasta el punto $Q$

$ <pre>\stackrel{\longrightarrow}{PQ} \, = \, Q \, - \, P \, = \, </pre> \left( <pre> \, -1, \, -2, \, -3 \, </pre> \right) \, - \, \left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right) <pre>\, = \, \left( \, -2, \, -4, \, -6 \, \right) </pre> $

Por lo tanto, la ecuacion de la recta $r$ en forma vectorial es:

$\left( <pre> \, x, \, y, \, z \, </pre> \right) \, = \, P \, + \, \lambda \stackrel{\longrightarrow}{PQ} \, = \, \left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right) \, + \, \lambda \left( <pre> \, -2, \, -4, \, -6 \, </pre> \right)$

En forma paramétrica es:

$r: \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x & = & 1 \, - \, 2 \lambda \\ y & = & 2 \, - \, 4 \lambda \\ z & = & 3 \, - \, 6 \lambda \end{array} </pre> \right.$

En forma continua es:

$r: \, \frac{x \, - \, 1}{-2} \, = \, \frac{y \, - \, 2}{-4} \, = \, \frac{z \, - \, 3}{-6}$

En forma implicita es:

$r: \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{c} 2 \cdot x \, - \, y \, = \, 0 \\ 3 \cdot x \, - \, z \, = \, 0 \end{array} </pre> \right.$

Plano en el espacio

Introduccion

Un plano $\pi$ queda determinado cuando se conoce un punto $P$ del mismo y dos vectores $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ no nulos y linealmente independientes que éstan contenidos en el plano, llamados vectores directores del plano.

Existen diferentes formas de expresar la ecuación de un plano. Las describimos a continuación.

Ecuación en forma vectorial

El plano $\pi$ que contiene al punto $P_0 \, = \, \left( <pre> \, x_0, \, y_0, \, z_0 \, </pre> \right)$ y tiene como vectores directores los vectores $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ es el conjunto de puntos del espacio que verifican la siguiente relación vectorial:

$\stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}$

con $\lambda, \, \mu \in R$

Teniendo en cuenta que $P \, = \, P_0 \, + \, \stackrel{\longrightarrow}{P_0P}$ , resulta:

$P \, = \, P_0 \, + \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}$

expresión que se conoce como ecuación vectorial del plano.

Ecuación en forma paramétrica

Desarrollando la ecuación vectorial expresada en componentes, resulta:

$\pi: \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x $ \, = \, x_0 \, + \, \mu v_x \, + \, \lambda u_x \\ y $ \, = \, y_0 \, + \, \mu v_y \, + \, \lambda u_y \\ z $ \, = \, z_0 \, + \, \mu v_z \, + \, \lambda u_z \end{array} </pre> \right.$

expresión que se conoce como ecuación en forma paramétrica.

Ecuación en forma general

Como

$P \, - \, P_0 \, = \, \lambda \vec{\mathbf{u}} \, + \, \mu \vec{\mathbf{v}}$

en el determinante

$\left| <pre> \begin{array}[c]{rcl} x \, - \, x_0 & u_x & v_x \\ y \, - \, y_0 & u_y & v_y \\ z \, - \, z_0 & u_z & v_z \\ \end{array} </pre> \right|$

la primera columna es combinación lineal de la segunda y de la tercera. Por tanto dicho determinante es cero. Desarrollando el determinante, agrupando términos e igualando a 0, nos queda un ecuación de la forma:

$\pi: \, ax \, + \, by \, + \, cz \, + \, d \, = \, 0$

que es la ecuación en forma general, cartesiana o implícita del plano. ( $a, \, b, \, c, \, d$ son numeros reales ).

Ecuación normal

Otra forma determinar la ecuación de un plano es conociendo un punto del mismo y un vector normal al plano.

Sea $P_0 \, = \, \left( <pre> \, x_0, \, y_0, \, z_0 \, </pre> \right)$ un punto dado del plano $\pi$ y sea $\vec{\mathbf{n}} \, = \, \left( <pre> \, a, \, b, \, c \, </pre> \right)$ un vector normal a $\pi$ . Entonces, para cualquier punto $P \, = \, \left( <pre> \, x, \,y, \, z \, </pre> \right)$ del plano $\pi$ , el vector $\stackrel{\longrightarrow}{P_0P}$ es perpendicular a $\vec{\mathbf{n}}$ , de manera que

$\vec{\mathbf{n}} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, 0$

expresión que recibe el nombre de ecuación normal del plano. A partir de la ecuación normal del plano se puede obtener muy facilmente su ecuación general:

$\vec{\mathbf{n}} \cdot \stackrel{\longrightarrow}{P_0P} \, = \, a \cdot \left( <pre> \, x \, - \, x_0 \, </pre> \right) \, + \, b \cdot \left( <pre> \, y \, - \, y_0 \, </pre> \right) \, + \, c \cdot \left( <pre> \, z \, - \, z_0 \, </pre> \right) <pre>\, = \, 0 \, \Rightarrow \, ax \, + \, by \, + \, cz \, + \, d \, = \, 0 </pre> $

donde $d \, = \, -ax_0 \, - \, by_0 \, - \, cz_0$ .

Ejemplo

Determinemos las ecuaciones del plano que contiene a los puntos:

$P_0 \, = \, \left( <pre> \, 1, \, 0, \, 0 \, </pre> \right) , \, P_1 \, = \, \left( <pre> \, 0, \, 1, \, 0 \, </pre> \right) \quad \mathrm{y} \quad P_2 \, = \, \left( <pre> \, 0, \, 0, \, 1 \, </pre> \right)$

Tanto

$\stackrel{\longrightarrow}{P_0P_1} \, = \, P_1 \, - \, P_0$

como

$\stackrel{\longrightarrow}{P_0P_2} \, = \, P_2 \, - \, P_0$

son vectores directores del plano $\pi$ , de manera que

$P \, = \, P_0 \, + \, \mu \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_2} \, + \, \lambda \stackrel{\longrightarrow}{P_0P_1}$

, es decir

$\left( <pre> \, x, \, y, \, z \, \right) \, = \, \left( \, 1, \, 0, \, 0 \, \right) \, + \, \mu \left( \, -1, \, 0, \, 1 \, \right) \, + \, \lambda \left( \, -1, \, 1, \, 0 \, \right) </pre> $

es la ecuación vectorial del plano $\pi$ . De la cual se deduce la ecuación de $\pi$ en forma paramétrica:

$\pi: \, \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x & = & 1 \, - \, \mu \, - \, \lambda \\ y &= & \lambda \\ z & = & \mu \end{array} </pre> \right.$

Como $\left( <pre> \, x \, - \, 1, \, y, \, z \, </pre> \right)$ es una combinación lineal de $\left( <pre> \, -1, \, 1, \, 0 \, </pre> \right)$ y de $\left( <pre> \, -1, \, 0, \, 1 \, </pre> \right)$ se ha de tener que

$\left| <pre> \begin{array}[c]{ccc} x \, - \, 1 & -1 & -1 \\ y & 1 & 0 \\ z & 0 & 1 \\ \end{array} </pre> \right| \, = \, 0$

de lo que se deduce la ecuación de $\pi$ en forma general, cartesiana o implícita:

$x \, + \, y \, + \, z \, - \, 1 \, = \, 0$

Posición relativa de dos planos

Introduccion

Dos planos pueden adoptar tres posiciones relativas en el espacio:

1. Secantes.

2. Coincidentes.

3. Paralelos.

Sean dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ de ecuaciones:

$\pi_1: \, a_1 x \, + \, b_1 y \, + \, c_1 \, + \, d_1 \, = \, 0$

$\pi_2: \, a_2 x \, + \, b_2 y \, + \, c_2 \, + \, d_2 \, = \, 0$

Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los dos planos, cuyas matrices asociadas son:

$A \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array} </pre> \right) \qquad \mathrm{y} \qquad A | B \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} -d_1 \\ -d_2 \end{array} </pre> \right)$

Según el teorema de Rouché-Fröbenius, se pueden presentar los casos que pasamos a discutir en la siguiente seccion:

Casos que se pueden dar:

Secantes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan según una recta. Son planos secantes.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1$

$\pi_2: \, x \, + \, y \, + \, z \, = \, 2$

son secantes, pues:

Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

Coincidentes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, siendo la segunda ecuación proporcional a la primera. Los planos tienen en comun todos sus puntos. Son planos coincidentes.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1$

$\pi_2: \, 2x \, + \, 2y \, - \, 2z \, = \, 2$

son coincidentes, pues:

Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1

Paralelos: Rango ( A ) = 1, Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solucion. Los planos no tienen ningun punto en común. Son planos paralelos.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 1$

$\pi_2: \, x \, + \, y \, - \, z \, = \, 2$

son paralelos, pues:

Rango ( A ) = 1 mientras que Rango ( A | B ) = 2

Posición relativa de tres planos

Introduccion

Sean tres planos $\pi_1$ y $\pi_2$ y $\pi_3$ de ecuaciones:

$\pi_1: \, a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0$

$\pi_2: \, a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0$

$\pi_3: \, a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0$

Para determinar sus posiciones relativas, analizamos el sistema formado por las ecuaciones de los tres planos, cuyas matrices asociadas son:

$A \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} </pre> \right)$

$A | B \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} -d_1 \\ -d_2 \\ -d_3 \end{array} </pre> \right)$

Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden los siguientes casos que pasamos a describir en la seccion siguiente.

Casos que se pueden dar

Caso 1: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es compatible determinado, y tiene una única solución. Los planos tienen un único punto común. Los planos se cortan en un punto.

Asi, los planos

$\pi_1: \, x \, = \, 1$

$\pi_2: \, y \, = \, 2$

$\pi_2: \, z \, = \, 3$

se cortan en el punto $\left( <pre> \, 1, \, 2, \, 3 \, </pre> \right)$ y

$</pre> \makebox{Rango} \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \, = \, \makebox{Rango} \left( \left. \begin{array}[c]{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right| \begin{array}[c]{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array} \right) = 3$

caso 2: Rango ( A ) = 2, Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solucion. Los tres planos no tienen ningún punto en comun.

Puden presentarse dos situaciones distintas:

Subcaso 2.1

Los planos se cortan dos a dos según rectas paralelas. Entre los planos considerados no hay dos que sean paralelos. Por tanto, cada dos planos se cortan según una recta.

Subcaso 2.2

Dos planos paralelos cortados por el tercero.

Analizando las posiciones relativas de cada par de planos se cortan según una recta. Son planos.

Caso 3: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indenterminado, y tiene infinitas soluciones. Los planos se cortan en una reta. Pueden presentarse en este caso dos situciones distintas:

Subcaso 3.1

Planos distintos.

Subcaso 3.2

Dos planos son coincidentes.

¿Como distinguir cada uno de estos subcasos? Analizando las posiciones relativas de cada par de planos.

Caso 4: Rango ( A ) = 1, Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es incompatible. Los tres planos no tienen ningún punto en común.

Puden presentarse tres situaciones distintas:

Subcaso 4.1

Los tres planos son paralelos.

Subcaso 4.2

Dos planos coinciden y el otro es paralelo.

¿Como distinguir cada uno de estos subcasos? Analizando las posiciones relativas de cada par de planos.

Caso 5: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 1

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Los tres planos coinciden.

Posicion relativa entre recta y plano

Introduccion

Una recta y un plano pueden adoptar en el espacio estas tres posiciones relativas:

1. Secantes.

2. Paralelos.

3. Recta contenida en el plano.

Supongamos que la recta $r$ viene dada como la interseccion de dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$

$\pi_1: \, a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0$

$\pi_2: \, a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0$

y supongamos que queremos determinar su posicion relativa en el espacio con respecto al plano

$\pi_3: \, a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0$

Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden los siguientes casos que pasamos a describir en la seccion siguiente.

Casos que se pueden dar:

Secantes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es compatible determinado, tiene una unica solución. La recta y el plano tienen un punto en común. La recta y el plano son secantes.

Paralelos: Rango ( A ) = 2, Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es incompatible, no tiene solucion. La recta y el plano no tienen ningún punto en común. La recta y el plano son paralelos.

Recta contenida en el plano: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Todos los puntos de la recta son solucion del sistema. La recta está contenida en el plano.

Nota 1

Suponiendo que tuviesemos la ecuación de la recta dada en forma parametrica en vez de venir dada como la intersección de dos planos, entonces, juntando las ecuaciones de la recta con la del plano, obtendriamos un sistema de cuatro ecuciones con cuatro incognitas. Estas ultimas serian:

- las coordenadas del punto de interseccion y

- el parametro que aparece en las ecuaciones de la recta.

Dependiendo de si este sistema tuviese una, ninguna o mas de una solucion estariamos en el primer, segundo o tercer caso discutidos arriba, respectivamente.

Ejemplo

Para hallar la interseccion del plano $\pi$ de ecuacion:

$\, x = 1$

con la recta $r$ de ecuacion:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x & = & 1 \, + \, \alpha \\ y & = & 2 \, + \, \alpha \\ z & = & 3 \, + \, \alpha \end{array} </pre> \right.$

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

$\left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} x & = & 1 \\ x & = & 1 \, + \, \alpha \\ y & = & 2 \, + \, \alpha \\ z & = & 3 \, + \, \alpha \end{array} </pre> \right.$

Como la solucion de este sistema de ecuaciones es unica:

$\left( <pre> \, x, \, y, \, z \, \right) = \left( \, 1, \, 2, \, 3 \, \right) </pre> $

este es el unico punto comun a la recta $r$ y al plano $\pi$ y por tanto $r$ y $\pi$ son secantes.

Posicion relativa de dos restas

Introducción

Dos rectas pueden adoptar en el espacio las cuatro posiciones relativas siguientes:

1. Coincidentes.

2. Paralelas.

3. Secantes.

4. Rectas que se cruzan.

Supongamos que tenemos dos rectas $r$ y $s$ que vienen dadas como interseccion de dos planos:

$r: \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} a_1 \cdot x \, + \, b_1 \cdot y \, + \, c_1 \cdot z \, + \, d_1 \, = \, 0 \\ a_2 \cdot x \, + \, b_2 \cdot y \, + \, c_2 \cdot z \, + \, d_2 \, = \, 0 \end{array} </pre> \right. \qquad s: \left\{ <pre> \begin{array}[c]{rcl} a_3 \cdot x \, + \, b_3 \cdot y \, + \, c_3 \cdot z \, + \, d_3 \, = \, 0 \\ a_4 \cdot x \, + \, b_4 \cdot y \, + \, c_4 \cdot z \, + \, d_4 \, = \, 0 \end{array} </pre> \right.$

Para determinar su posición relativa en el espacio tendremos que analizar el sistema formado por las ecuaciones de los cuatro planos, cuyas matrices asociadas son:

$A \, = \, \left( <pre> \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 $ c_1 \\ a_2 & b_2 $ c_2 \\ a_3 & b_3 $ c_3 \\ a_4 & b_4 $ c_4 \\ \end{array} </pre> \right) \qquad \mathrm{y} \qquad A | B \, = \, \left( <pre> \left. \begin{array}[c]{ccc} a_1 & b_1 $ c_1 \\ a_2 & b_2 $ c_2 \\ a_3 & b_3 $ c_3 \\ a_4 & b_4 $ c_4 \\ \end{array} \right| \begin{array}[c]{ccc} -d_1 \\ -d_2 \\ -d_3 \\ -d_4 \\ \end{array} </pre> \right)$

Las dos primeras filas de $A$ son linealmente independientes, ya que ambos planos determinan una recta. Por tanto, Rango ( A ) $\ge 2$ y Rango ( A | B ) $\ge 2$ . Según el teorema de Rouché-Frobenius, se pueden presentar los casos que describimos a continuacion.

Casos que se pueden dar:

Coincidentes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 2

El sistema de ecuaciones es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Las rectas tienen todos sus puntos comunes. Son rectas coincidentes.

Paralelas: Rango ( A ) = 2, Rango ( A | B ) = 3

El sistema es incompatible, no tiene solución. Las rectas no tienen ningún punto en común, pero como Rango ( A ) = 2, las rectas son coplanarias (estan en el mismo plano). Son rectas paralelas.

Secantes: Rango ( A ) = Rango ( A | B ) = 3

El sistema de ecuaciones es compatible determinado, tiene una solución única. Las rectas tienen un solo punto común, que es el punto de corte. Son rectas secantes.

Rectas que se cruzan: Rango ( A ) = 3, Rango ( A | B ) =4

El sistema es incompatible, no tiene solucion. No tienen ningún punto en común, y como Rango ( A ) = 3, las rectas no son coplanarias ( no estan contenidas en un mismo plano ). Son rectas que se cruzan.

Nota 2

Otro procedimiento para determinar la posicion relativa de dos rectas es el siguiente:

1. Obtenemos dos vectores directores $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ de ambas rectas ( uno de cada recta ).

2. Si estos son paralelos entonces las rectas son coincidentes o paralelas. Para saber si son coincidentes o paralelas, hallamos un punto en una de las rectas y comprobamos si esta en la otra: si esta, entonces las rectas son coincidentes, si no esta, las rectas son paralelas.

3. Si $\vec{\mathbf{u}}$ y $\vec{\mathbf{v}}$ no son paralelos, entonces las rectas son secantes o se cruzan. En este caso, juntariamos las ecuaciones de las dos rectas y resolveriamos el sistema resultante: si no tiene solucion, las rectas se cruzan, si tiene solucion, las rectas son secantes.

Este procedimiento no requiere que las rectas esten dadas como interseccion de dos planos paralelos.